Calculs en capacité : 4 raisons d’un succès

Le calcul de la solidité des constructions fait depuis longtemps une large place aux méthodes numériques. Mais leur domaine d’application est en train de s’étendre.

Pendant longtemps, le calcul numérique était destiné aux modèles d’ensemble des ouvrages hyperstatiques. Il s’agissait de déterminer la « répartition des efforts » entre les différents éléments. Il était communément admis que le calcul élastique était suffisant pour cet objectif, ses avantages étant évidents : très grande rapidité d’exécution permettant le calcul de centaines de cas de charge, validité du principe de superposition pour les combinaisons d’états limites, etc.

Exemple de connexion boulonnée par platine soudée. Poteau RHS encastré et poutre IPE soumise à une torsion pure créée par deux efforts excentrés.

Mais répartir les efforts n’est pas vérifier la solidité d’un ouvrage. La « vraie » vérification structurelle, qui permet de valider la résistance, a été longtemps repoussée au niveau local sous forme de « post-traitements » (résistance d’une section de poutre, d’un nœud de ferraillage ou d’un assemblage, etc.). Et cette « vraie » vérification s’obtenait par des applications manuelles ou semi manuelles, normatives, au domaine d’application très éloigné de celui de l’élasticité.

Déformation élastique après analyse élastique avec contact (les zones les plus déformées colorisées). Le comportement élastique correspond à la torsion de la poutre, flexion de la platine, allongement de certains boulons et flexion locale du poteau.
Contrainte équivalente après analyse élastique avec contact (les zones les plus contraintes colorisées). Les soudures et les axes des boulons sont les plus contraints.

Bien sûr, pour des géométries complexes, on réalisait parfois des modèles numériques locaux, soit élastiques « en contraintes admissibles » (cf. exemple ci-dessus), avec 40 ans de retard sur les normes modernes et au risque d’un fort surdimensionnement, soit « élastoplastiques », plus pertinents pour les ELU, mais beaucoup trop lourds pour un usage courant en ingénierie de la construction. En outre, les incertitudes sur la convergence et la sensibilité des résultats au maillage sont devenues légendaires et ont contribué à discréditer la méthode (« les éléments finis, on leur fait dire ce que l’on veut »).

La généralisation, pour les ELU, des méthodes numériques de calcul « en capacité » change la donne pour plusieurs raisons :

  1. Conforme à l’Eurocode qui ne se satisfait pas des analyses élastiques à l’ELU : En particulier l’EC0 pose (3.3) parmi les Etats Limites Ultimes « la défaillance due à une déformation excessive ou la transformation en mécanisme de tout ou partie de la structure », puis, (5.1) que « Les calculs doivent être effectués à l’aide de modèles structuraux appropriés [… qui] permettent de prédire le comportement avec un niveau de précision acceptable. Il convient que les modèles structuraux soient appropriés aux états-limites considérés. ». Traduction : les modèles de calcul doivent prédire le niveau de charge entraînant une forte augmentation des déformations, ou l’apparition de rotules plastiques conduisant à la formation d’un mécanisme. L’élasticité ne répond manifestement pas à la question.
  2. L’analyse en capacité donne à voir et comprendre. Nous ferons un billet plus spécialement sur ce sujet, car c’est un point central : à partir d’un calcul élastique on peut prédire l’apparition d’une première fissure, mais il faut beaucoup d’imagination pour entrevoir comment l’ouvrage va rompre, et quel sera le schéma résistant juste avant la rupture (à l’ELU). Le calcul rigide plastique fournit très exactement, et de manière très visuelle, cette double description : le mécanisme de ruine et le schéma résistant ultime (cf. exemple ci-dessous).
  3. Adapté à notre époque : Notre métier change, avec des temps d’étude raccourcis, audace des designs, instabilité des conceptions et travail en réseau imposent une plus forte réactivité ; alors qu’en même temps l’évolution de la formation des ingénieurs les éloigne des compétences traditionnelles du calcul manuel. L’outil numérique devient incontournable.
  4. Les incertitudes numériques sont rigoureusement bornées : L’analyse en capacité utilise une discrétisation de la structure et produit donc, comme les autres méthodes numériques, des résultats qui dépendent du maillage. Mais l’approche duale (contrainte/déplacements) mise en œuvre aboutit à la détermination de 2 estimations de la capacité de l’ouvrage, dont on montre qu’elles encadrent toujours le résultat théorique. C’est donc ici mieux qu’un estimateur d’erreur : une certitude.
Déformation plastique après analyse en capacité avec contact. Le mécanisme limite correspond finalement au cisaillement des six boulons par rotation uniforme de la poutre. L’analyse trouve une borne supérieure du moment de torsion limite de 8,89kNm
Contrainte équivalente après analyse en capacité avec contact. Les zones plastifiées en noir correspondent aux  axes des six boulons, la poutre ne plastifiant pas. L’analyse trouve une borne inférieure du moment de torsion limite de 6,75kNm.

Le calcul en capacité est d’autant plus pertinent quand le calcul élastique n’est pas valable comme dans les pièces en béton-armé où la traction dans le béton n’est pas acceptable. Ci-dessous, des répartition en capacité des contraintes dans divers exemples de vérification de bielles et tirants.

Chevêtre soumis à une pression uniforme sur les quatre appuis supérieurs.
Localisation des bielles de béton comprimées à au moins 10 MPa.
Traction dans les tirants
Voile avec réservation soumis à une pression sur l’appuis supérieure.
Localisation des bielles comprimées à au moins 5 MPa, et tirants en traction.

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